设D是位于曲线y＝xa−x2a(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域．（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；（Ⅱ）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．

Question

设D是位于曲线y＝√(x)a−(x)/(2a)(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域．
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；
（Ⅱ）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．

Answer 1

（Ⅰ）V(a)＝

∫

+∞ 0

πy2dx＝π

∫

+∞ 0

xa−(x)/(a)dx=π

∫

+∞ 0

−axa−(x)/(a)d(−(x)/(a))=−aπ

∫

+∞ 0

x•(1)/(lna)d(a−(x)/(a))
=−(aπ)/(lna)

∫

+∞ 0

xd(a−(x)/(a))=−(aπ)/(lna)[xa−(x)/(a)

|

+∞ 0

−

∫

+∞ 0

a−(x)/(a)dx]=−(aπ)/(lna)[xa−(x)/(a)−(−a)•(1)/(lna)a−(x)/(a)

]

+∞ 0

=−(aπ)/(lna)[

lim

x→+∞

xa−(x)/(a)−0+(a)/(lna)(0−1)]=(a2π)/(ln2a)−(aπ)/(lna)

lim

x→+∞

xa−(x)/(a)=(a2π)/(ln2a)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得V(a)＝

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