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设D是位于曲线y＝xa−x2a(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域．（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；（Ⅱ）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．
题目详情
设D是位于曲线y＝
a−
(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域．
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；
（Ⅱ）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．
| x |
| x |
| 2a |
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（a）；
（Ⅱ）当a为何值时，V（a）最小？并求此最小值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）V(a)＝
πy2dx＝π
xa−
dx=π
−axa−
d(−
)=−aπ
x•
d(a−
)
=−
xd(a−
)=−
[xa−
−
a−
dx]=−
[xa−
−(−a)•
a−
=−
[
xa−
−0+
(0−1)]=
−
xa−
=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得V(a)＝
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ 0 |
| x |
| a |
| ∫ | +∞ 0 |
| x |
| a |
| x |
| a |
| ∫ | +∞ 0 |
| 1 |
| lna |
| x |
| a |
=−
| aπ |
| lna |
| ∫ | +∞ 0 |
| x |
| a |
| aπ |
| lna |
| x |
| a |
| | | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ 0 |
| x |
| a |
| aπ |
| lna |
| x |
| a |
| 1 |
| lna |
| x |
| a |
| ] | +∞ 0 |
| aπ |
| lna |
| lim |
| x→+∞ |
| x |
| a |
| a |
| lna |
| a2π |
| ln2a |
| aπ |
| lna |
| lim |
| x→+∞ |
| x |
| a |
| a2π |
| ln2a |
（Ⅱ）由（Ⅰ）得V(a)＝
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