已知数列{an}是等差数列，且3a5=8a12>0，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，当n多大时，Sn取得最大值？并证明你的结论．

Question

已知数列{a _n }是等差数列，且3a ₅ =8a ₁₂ >0，数列{b _n }满足b _n =a _n a _n+1 a _n+2 （n∈N ^* ），{b _n }的前n项和为S _n ，当n多大时，S _n 取得最大值？并证明你的结论．

Answer 1

设数列{a _n }的公差为d，则由3a ₅ =8a ₁₂ ，得3a ₅ =8(a ₅ +7d).

    ∴a ₅ =- d>0.∴d<0．

    ∴a ₁₆ =a ₅ +11d=- d+11d=- d>0，

    a ₁₇ =a ₅ +12d=- d+12d= d<0．

    ∴a ₁ >a ₂ >a ₃ >…>a ₁₆ >0>a ₁₇ >a ₁₈ >….

    ∴b ₁ >b ₂ >b ₃ >…>b ₁₄ >0，0>a ₁₇ >a ₁₈ >…，

    b ₁₅ =a ₁₅ a ₁₆ a ₁₇ <0，b ₁₆ =a ₁₆ a ₁₇ a ₁₈ >0．

    由于a ₁₅ =a ₅ +10d=- d+10d=- d，a ₁₈ =a ₅ +13d=- d+13d= d，

    ∴a ₁₈ >|a ₁₅ |=a ₁₅ ．

    ∴b ₁₆ >|b ₁₅ |=-b ₁₅ ．

    ∴S ₁₆ =S ₁₄ +b ₁₅ +b ₁₆ >S ₁₄ ．

    综上所述，在数列{b _n }的前n项和S _n 中，前16项的和S ₁₆ 最大．

解析:

先由3a ₅ =8a ₁₂ >0判断公差d的符号，再判断数列{a _n }中符号发生改变的项，从而判断数列{b _n }中符号发生改变的项．