已知质点的运动方程为r=A1coswti+A2sinwtj式中r的单位为m,t的单位为s,w的单位为rad/s其中A1,A2,w均为正的常量.(1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆(2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心

Question

已知质点的运动方程为r=A1coswti+A2sinwtj
式中r的单位为m,t的单位为s,w的单位为rad/s其中A1,A2,w均为正的常量.
(1)试证明质点的运动轨迹为一椭圆
(2)试证明质点的加速度恒指向椭圆中心

Answer 1

1 化成参数方程xt = A1coswt yt = A2sinwt
则x^2 / A1^2 + y^2 / A2^2 = 1,这是椭圆标准形式
2 求x和y的两次微分即为两个方向加速度
axt= d''xt/(dt)^2 = -A1w^2coswt
ayt = -A2w^2 sinwt
其合成方向为arga = ay/ax = A2/A1tanwt
而对任意时间t,物体所在位置与坐标原点的连线直线方程为
y = yt/xt = A2/A1tanwt,那么该加速度的斜率与此直线相等,故而平行
该加速度过质点,因此该加速度所在直线与物体所在位置与坐标原点的连线重合.