如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S△DOG=

Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：
①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S_△DOG=S_{四边形EFOG}；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG．
其中一定正确的是______．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=(1)/(2)∠ADB=22.5°，
则∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正确；
设EF=x，则AE=x，BE=EF=√(2)x，AB=AE+BE=（√(2)+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=(AD)/(AE)＝(AB)/(AE)=√(2)+1．即②错误；
∵AB=（√(2)+1）x，
∴AO=（1+(√(2))/(2)）x，OG=AO-AG=AO-AE=(√(2))/(2)x，
易得△DOG∽△DFE，
∵(S△DOG)/(SDFE)=（(OG)/(EF)²=(1)/(2)，
∴可得S_△DOG=S_{四边形EFOG}