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如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的两点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N.下列结论:①AB2=BN•DM;②AF平分∠DFE;③AM•AE=AN•AF;④BE+DF=2MN.其中正确的结论是()A.
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如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的两点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N.下列结论:①AB2=BN•DM;②AF平分∠DFE;③AM•AE=AN•AF;④BE+DF=
MN.其中正确的结论是( )
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
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A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
▼优质解答
答案和解析
①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°,
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM,
∴∠BAN=∠AMD.
又∠ABN=∠ADM=45°,
∴△ABN∽△ADM,
∴AB:BN=DM:AD.
∵AD=AB,
∴AB2=BN•DM.
故①正确;
②
把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠EAF=∠HAF.
∵AE=AH,AF=AF,
∴△AEF≌△AHF,
∴∠AFH=∠AFE,即AF平分∠DFE.
故②正确;
③∵AB∥CD,∴∠DFA=∠BAN.
∵∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,
∴∠AFE=∠AMN.
又∠MAN=∠FAE,
∴△AMN∽△AFE.
∴AM:AF=AN:AE,即
AM•AE=AN•AF.
故③正确;
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE.
过A作AO⊥BD,作AG⊥EF.
则△AFE与△AMN的相似比就是AG:AO.
易证△ADF≌△AGF(AAS),
则可知AG=AD=根2AO,从而得证
故④正确.
故选D.
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM,
∴∠BAN=∠AMD.
又∠ABN=∠ADM=45°,
∴△ABN∽△ADM,
∴AB:BN=DM:AD.
∵AD=AB,
∴AB2=BN•DM.
故①正确;
②
把△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADH.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠EAF=∠HAF.
∵AE=AH,AF=AF,
∴△AEF≌△AHF,
∴∠AFH=∠AFE,即AF平分∠DFE.
故②正确;
③∵AB∥CD,∴∠DFA=∠BAN.
∵∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,
∴∠AFE=∠AMN.
又∠MAN=∠FAE,
∴△AMN∽△AFE.
∴AM:AF=AN:AE,即
AM•AE=AN•AF.
故③正确;
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE.
过A作AO⊥BD,作AG⊥EF.
则△AFE与△AMN的相似比就是AG:AO.
易证△ADF≌△AGF(AAS),
则可知AG=AD=根2AO,从而得证
故④正确.
故选D.
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