如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的正弦值；（3）求三棱锥E-ACD的体积．

Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

（1）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE
∵二面角D-AB-E为直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）连接BD交AC交于G，连接FG
∵正方形ABCD边长为2．∴BG⊥AC，BG=√(2)
∵BF⊥平面ACE．由三垂线定理的逆定理得
FG⊥AC．∴∠BGF是二面B-AC-E的平面角（7分）
由（1）和AE⊥平面BCE
又∵AE=EB∴在等腰直角三角形AEB中，BE=√(2)
又∵Rt△BCE中，EC=√(BC2+BE2)=√(6)
BF=(BC×BE)/(EC)=(2×√(2))/(√(6))=(2√(3))/(3)∴Rt△BFG中sin∠BGF=(BF)/(FG)=((2√(3))/(3))/(√(2))=(√(6))/(3)
∴二面角B-AC-E的正弦值等于(√(6))/(3)（10分）
（3）过点E作EO⊥AB交AB于点O，OE=1
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD
∴VE-ACD=(1)/(3)S△ACD•EO=(1)/(3)•(1)/(2)•AD•DC•EO=(2)/(3)（14分）