给出下列命题：①已知函数f（x）=x3+2x−3x−1，(x＞1)ax+1，(x≤1)在点x=1处连续，则a=4；②若不等式|x+1x|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；③不等式（x-2）|x2-2x-8

Question

给出下列命题：
①已知函数f（x）=

(x3+2x−3)/(x−1)，(x＞1)

ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，则a=4；
②若不等式|x+(1)/(x)|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2}
④如果△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值分别等于△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值，则△A₁B₁C₁为锐角三角形，△A₂B₂C₂为钝角三角形．其中真命题的序号是______（将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

若函数f（x）=

(x3+2x−3)/(x−1)，(x＞1)

ax+1，(x≤1)

在点x=1处连续，则

lim

x→1

(x3+2x−3)/(x−1)=4=a+1，则a=3，故①错误；
不等式|x+(1)/(x)|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则|a-2|+1＜2，解得1＜a＜3，故②正确；
（x-2）|x²-2x-8|≥0的解集是{x|x≥2或x=-4}，故③错误；
△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．
若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由

sinA2＝cosA1＝sin((π)/(2)−A1)

sinB2＝cosB1＝sin((π)/(2)−B1)

sinC2＝cosC1＝sin((π)/(2)−C1)

，
得

A2＝(π)/(2)−A1

B2＝(π)/(2)−B1

C2＝(π)/(2)−C1

，
那么，A₂+B₂+C₂=(π)/(2)，这与三角形内角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=(π)/(2)，
则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．
所以△A₂B₂C₂是钝角三角形，故④正确；
故答案为：②④