如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BC=AD=4，P是AB边上的一个动点，正方形PQRS是一个边长为x的动正方形，其中Q点在AC上，PQ∥BC，（RS与A分居PQ的两侧），正方形PQRS与△ABC的重叠的面积为y．（1）当

Question

如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BC=AD=4，P是AB边上的一个动点，正方形PQRS是一个边长为x的动正方形，其中Q点在AC上，PQ∥BC，（RS与A分居PQ的两侧），正方形PQRS与△ABC的重叠的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x的值；
（2）当RS不在BC上时，求y与x的关系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴(PQ)/(BC)=(AE)/(AD)，即(x)/(4)=(4−x)/(4)，
解得x=2；

（2）分两种情况：
ⅰ．当0＜x＜2时，y=x²；
ⅱ．当2＜x≤4时，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴(PQ)/(BC)=(AE)/(AD)，即(x)/(4)=(AE)/(4)，
解得AE=x，DE=4-x，
∴y=PQ•DE=x（4-x）=-x²+4x，
故y=

x2(0＜x＜2)

−x2+4x(2＜x≤4)

；

（3）①当RS落在△ABC外部时，y=-x²+4x=-（x-2）²+4（2＜x≤4），
∵当x=2时，y有最大值4，
∴y＜4；
②当RS落在BC边上时，由x=2可知，y=4，
③当RS落在△ABC内部时，y=x²＜4（0＜x＜2），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为4；