已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值；（2）求证：当x∈R+时，恒有f(1x)=-f(x)；（3）

Question

已知函数y=f（x）的定义域为R ⁺ ，对任意x，y∈R ⁺ ，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R ⁺ 时，恒有 f((1)/(x) )=-f(x) ；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f ^-1 （x）存在，试根据已知恒等式猜想f ^-1 （x）具有的性质，并给出证明．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）证明：令y= (1)/(x) ，则f（1）=f（x）+f（ (1)/(x) ），∴ f((1)/(x) )=-f(x)
（3）证明：设任意x，y∈R ⁺ ，且x＜y， (y)/(x) =a＞1
则f（x）-f（y）=f（x）-f（x•a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）猜想f ^-1 （x）具有的性质，f ^-1 （0）=1
证明：因为原函数与反函数关于直线y=x对称，
∵f（1）=0
∴f ^-1 （0）=1