（2012•永安市质检）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴交于点D，点C的坐标为（-3，4）．（1）点A的坐标为；（2）求过点A、O、C的抛物线解析式

Question

（2012•永安市质检）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴交于点D，点C的坐标为（-3，4）．
（1）点A的坐标为______；
（2）求过点A、O、C的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得一点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∵OD⊥OA，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC=√(OD2+CD2)=5，
∴A（5，0）．
故答案为：（5，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=(1)/(6)，
则y=(1)/(6)x（x-5）=(1)/(6)x²-(5)/(6)x．
∵y=(1)/(6)（x-(5)/(2)）²-(25)/(24)，
∴顶点坐标为（(5)/(2)，-(25)/(24)）；

（3）∵∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，
∴分两种情况：
①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD，
则(AO)/(CD)=(PO)/(OD)，即(5)/(3)=(PO)/(4)，
解得PO=(20)/(3)，此时P（0，(20)/(3)）；
②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，则OP=OD=4，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△OPM∽△OCD，
(PM)/(CD)=(OM)/(OD)=(OP)/(OC)，可得PM=(12)/(5)，OM=(16)/(5)，此时P（(16)/(5)，(12)/(5)）；
综上所述，存在符合要求的点P，它的坐标为（0，

作业帮用户 2017-10-03 举报

问题解析

（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x-5），把C（-3，4）代入，解方程求得a的值，即可得出抛物线的解析式；
（3）由菱形的对角相等可知∠OCD=∠OAB，则以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似时，分两种情况：①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时，△APO∽△COD；②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，根据相似三角形的性质即可求解．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是一道二次函数的综合题，考查了菱形的性质、用待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．

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