（理科）定义在R上的函数是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）若方程上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围．

Question

（理科）定义在R上的函数 是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程 上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：
（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）得b=0，通过对x的分段讨论求出函数的最大值，根据已知条件得到关于a的方程，求出a的值．（2）将f（x）代入方程并将方程变形，将方程根的情况转换为二次方程的实根分布问题，结合二次函数的图象写出限制条件，求出m的范围．

（1）由f（-x）=-f（x）得b=0∴又由函数f（x）的定义域为R知a≥0当且仅当ax2=1即∴综上a=1，b=0…（6分）（2）∴方程mx2+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论①②令h（x）=mx2+x+m+1则h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0综上所述实数m的取值范围为…（13分）
点评：
本题考查二次方程的实根分布问题，应该结合二次函数的图象，从对称轴与区间的位置关系、区间端点值的符号限制．