大一微积分设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,切f(1)=0证明：在(0,1)内至少存在一点ε,使得cosεf(ε)+sinεf'(ε)=0

Question

大一微积分
设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,切f(1)=0
证明：在(0,1)内至少存在一点ε,使得cosεf(ε)+sinεf'(ε)=0

Answer 1

证明：令F(x)=sinxf(x)
则F(0)=0,F(1)=0.且F(X)在(0,1)内可导,在[0,1]连续,F'(x)=cosxf(x)+sinxf'(x)
根据罗尔定理有在在(0,1)内至少存在一点ε,使得F'(ε)=0,即cosεf(ε)+sinεf'(ε)=0