设f(x)在(a,b)上不为常数.求证;存在e属于(a,b)及k>0,使得对于所有的q>0,在(e-q,e+q)和(a,b)的交集上总存在两点x1,x2使得|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=k怎么是假命题，你看漏绝对值号了

Question

设f(x)在(a,b)上不为常数.求证;存在e属于(a,b)及k>0,使得对于所有的q>0,在(e-q,e+q)和(a,b)的交集上总存在两点x1,x2使得|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=k
怎么是假命题，你看漏绝对值号了

Answer 1

完,我都多少年没做数学分析了..
反证法：假设原命题不成立,则对于任意e属于(a,b)及k>0,总存在q>0,在(e-q,e+q)和(a,b)的交集上对于任意两点两点x1,x2使得|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=k不成立.
那么对于任意两点有f(x1)=f(x2),这说明这时在任意e的某个领域内函数值是常数,所以整个函数就是个常数,矛盾,反命题不成立,证毕.