如图所示，光滑直杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．重力加速

Question

如图所示，光滑直杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k，原长为L₀的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．重力加速度为g．

（1）当小球随光滑直杆一起绕OO'轴匀速转动时，弹簧伸长量为△L，求匀速转动的角速度ω；
（2）若θ=30°，移去弹簧，当杆绕OO'轴以角速度ω₀=√((g)/(L))匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，求小球离B点的距离．

Answer 1

（1）设弹簧伸长时△L，球受力如图所示，
水平方向上有：FNsinθ+k△Lcosθ=mω2(L0+△L)cosθ
竖直方向上有：F_Ncosθ-k△Lsinθ-mg=0
解得：ω=√((k△L+mgsinθ)/(m(L0+△L)cos2θ))
（2）当杆绕OO'轴以角速度ω₀匀速转动时，设小球距离B点L₀，有：
mgtanθ=mω²rcosθ
解得：r=(2)/(3)L
答：（1）当小球随光滑直杆一起绕OO'轴匀速转动时，弹簧伸长量为△L，匀速转动的角速度ω为√((k△L+mgsinθ)/(m(L0+△L)cos2θ))；
（2）小球离B点的距离为(2)/(3)L