在小于2012的所有正整数n中,使得2^n-n^2能被7整除的n共有个.

Question

在小于2012的所有正整数n中,使得2^n-n^2 能被7整除的n共有______个.

Answer 1

2^n被7除的余数随着n变化的最小周期是3,这个你可以直接计算试一试知道.n从1开始,2^n被7除的余数是2,4,1,2,4,1,...
n^2被7除的余数随着n变化的最小周期显然是7.n从1开始,n^2被7除的余数是1,4,2,2,4,1,0,.
总的来说,因为3和7互质,所以2^n-n^2被7除的余数以3*7=21为周期.在一个周期中,3除n余1的（此时2^n被7除余2）,7除n可以余3和4,分别对应数10和4；3除n余2的（此时2^n被7除余4）,7除n可以余2和5,分别对应数2和5；3除n余0的（此时2^n被7除余1）,7除n可以余1和6,分别对应数15和6.
由上面的讨论,所有使得2^n-n^2 能被7整除的正整数n为2,4,5,6,10,15以及它们加上整数倍的21.
有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中,因为2012=21*95+17这样的n有
95*6+6=
576个
不懂可以再问~