an是公差不为零的等差数列,S5=20,a1,a3,a7成等比数列,数列1/an×an+1前n项和Tn1）求an通项公式2）若Tn≤λan+1对一切正整数n恒成立,求λ最小值

Question

an是公差不为零的等差数列,S5=20,a1,a3,a7成等比数列,数列1/an×an+1前n项和Tn
1）求an通项公式 2）若Tn≤λan+1对一切正整数n恒成立,求λ最小值

Answer 1

（1）S5=a1+a2+a3+a4+a5=5*a3=20 a3=4
a1*a7=a3*a3 (a3-2d)*(a3+4d)=a3*a3 把a3=4代入,求得d=1
通项公式就是 an=n+1
（2）1/an*an+1=1/（n+1)(n+2)=1/(n+1) -1/(n+2)
Tn=1/2-1/3+1/3-1/4.+1/(n+1) -1/(n+2)=1/2-1/(n+2)
要是Tn≤λan+1恒成立,1/2-1/(n+2)≤λ(n+2)
化简不等式得到 1/2≤λ(n+2)+1/(n+2)
易得,当λ(n+2)=1/(n+2)时,右侧多项式可得到最小值2√λ,n是正整数,λ≤1/9,那最小值≤2/3,比 1/2大,当1/16≤λ≤1/9时,可以恒成立.
当λ＞1/9时,此时右侧多项式是个单调递增的多项式,当n=1时取到最小值3λ+1/3≧1/2
求得λ≧1/18.
综上两种情况的到λ最小值为1/16