在公差不为零的等差数列{an}中，a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=1S3n．求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=(1)/(S3n)．求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，依题意得

a1+d＝3

(a1+2d)2＝a1(a1+6d)

d≠0

，…（3分）
解得 a₁=2，d=1…（5分）
∴a_n=2+（n-1）×1即 a_n=n+1．…（6分）
（2）S3n＝(3n(a1+a3n))/(2)＝(3n(2+3n+1))/(2)＝(9n(n+1))/(2)．
bn＝(1)/(S3n)＝(2)/(9n(n+1))＝(2)/(9)((1)/(n)−(1)/(n+1))…（9分）
Tn＝b1+b2+…+bn＝(2)/(9)[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]＝(2n)/(9(n+1))
故 T_n=(2n)/(9(n+1))．…（12分）