常见数列和的推证（1）：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63）（2）：1^3+2^3+3^3+.+n^3=(1+2+3+.+n)^2=n^2*(n+1)^2÷4对以上进行证明

Question

常见数列和的推证
（1 ）：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63）
（2）：1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷4
对以上进行证明

Answer 1

可以用数学归纳法,步骤可以自己写.这里我用的是累加的方法.
因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3*1²+3*1+1
所以(n+1)³-1=3(1²+2²+…+n²)+3(1+2+…+n)+n
即n³+3n²+3n=3(1²+2²+…+n²)+3/2n(n+1)+n
所以1²+2²+…+n²=1/3(n³+3/2n²+1/2n)=1/6n(n+1)(2n+1)
同理(n+1)⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1
可得(n+1)⁴-1=4(1³+2³+…+n³)+6(1²+2²+…+n²)+4(1+2+…+n)+n
n⁴+4n³+6n²+4n=4(1³+2³+…+n³)+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n
化简可得1³+2³+…+n³=[n(n+1)]²/4