已知首项为12的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知bn=an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知首项为(1)/(2)的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由题知a₁=(1)/(2)，
又∵S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，
∴2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
变形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴(3)/(2)q=(1)/(2)+q²，解得q=1或q=(1)/(2)，…（4分）
又由{a_n}为递减数列，得q=(1)/(2)，
∴a_n=a₁q^n-1=（ (1)/(2)）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=a₁q^n-1=（ (1)/(2)）ⁿ，
∴b_n=a_nlog₂a_n=-n∙（(1)/(2)）ⁿ，
∴Tn＝−[1•(1)/(2)+2•((1)/(2))2+…+(n−1)•((1)/(2))n−1+n•((1)/(2))n]，
(1)/(2)Tn＝−[1•((1)/(2))2+…+(n−1)•((1)/(2))n+n•((1)/(2))n+1]，
两式相减得：
(1)/(2)Tn＝−[(1)/(2)+((1)/(2))2+…+((1)/(2))n−n•((1)/(2))n+1]
=−((1)/(2)•[1−((1)/(2))n])/(1−(1)/(2))+n•((1)/(2))n+1，
解得Tn＝(n+2)/(2n)−2．…（12分）