已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4=4027．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：Sn<32．

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁，2S₂，3S₃成等差数列，且S₄=(40)/(27)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：S_n<(3)/(2)．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，2S₂，3S₃成等差数列
∴4S₂=S₁+3S₃，即4（a₁+a₂）=a₁+3（a₁+a₂+a₃），
∴a₂=3a₃，即q=(1)/(3)，
又S₄=(40)/(27)，∴(a1(1-q4))/(1-q)=(40)/(27)，
解得a₁=1，
∴a_n=（(1)/(3)）^n-1；
（2）证明：S_n=(1-((1)/(3))n)/(1-(1)/(3))=(3)/(2)（1-(1)/(3n)）<(3)/(2)，
即有S_n<(3)/(2)．