问函数f（x）=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+•••+anx^n(n∈N*),且y=f(x)图像过点（1,n^2),数列an为等差数列.问1数列{an}通项公式.2当n为奇数时,设g(x)=1/2[f(x)-f(-x)],是否存在自然数m和M,使得不等式m＜g(1/2)

Question

问函数f（x）=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+•••+anx^n(n∈N*),且y=f(x)图像过点（1,n^2),数列an为等差数列.问1数列{an}通项公式.2当n为奇数时,设g(x)=1/2[f(x)-f(-x)],是否存在自然数m和M,使得不等式m＜g(1/2)＜M恒成立?若存在,求M-m的最小值?
第二问是2

Answer 1

第一问不说了
2,g(x)=1/2{•••}=a1x=+a3x^3+a5x^5+•••+anx^n,
∴g(1/2)=1*1/2+5*（1/2）^3+9*（1/2）^5+•••+(2n-1)*(1/2)^n,•••••••••••••①
1/4* g(1/2)=1* （1/2）^3+5*（1/2）^5+•••+(2n-1)*(1/2)^n+2••••••••••••••②
①- ②=3/4*g(1/2)=1*1/2+4[(1/2)^3+(1/2)^5+•••+(1/2)^n]-(2n-1)* (1/2)^n+2,
∴
g(1/2)=14/9-13/9*(1/2)^n-(2/3)*n*(1/2)^n,
令T（n）= g(1/2),∴T′（n）=[(13+6n)/9*㏑2 -2/3]* (1/2)^n＞0,
∴T（n）↗,∴T（n）≥T（1）=1/2,又T（n）＜14/9,故1/2≤g(1/2)＜14/9
∴最大值为0,最小值为2