已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a与b之间满足关系：|ka+b|=|a-kb|，其中k>0。（1）求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；（2）a能否和b垂直？a能否

Question

已知向量 a =(cosα ，sinα)， b =(cosβ，sinβ)，且 a 与 b 之间满足关系：|k a + b |=| a -k b |，其中k>0。
（1）求将 a 与 b 的数量积用k表示的解析式f(k)；
（2） a 能否和 b 垂直？ a 能否和 b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；
（3）求 a 与 b 夹角的最大值。

Answer 1

（1）∵ |k a + b |=| a -k b |，
两边平方，得|k a + b | ² =3| a -k b | ² ，
∴k ² a ² +2k a · b + b ² =3( a ² -2k a · b +k ² b ² )，
∵ a =(cosα ，sinα)， b =(cosβ，sinβ)，　
∴ a ² =1， b ² =1，
∴f(k)= 。
（2）∵k ² +1≠0，　
∴ a · b ≠0，故 a 与 b 不垂直，
若 a // b ，则| a · b |=| a || b |，即 =1， 　　
又k>0，
∴k=2± 。
（3）设 a 与 b 的夹角为θ，
∵ a · b =| a || b |cosθ，
∴cosθ= ，
由k>0， k ² +1≥2k，得 ，
即cosθ≥ ，
∴ a 与 b 夹角的最大值为 。