已知抛物线y^2=2x,过（3,0）的直线交于抛物线a,b两点.求证：向量oa与向量ob的数量积为3求证：向量oa与向量ob的数量积为3是真命题

Question

已知抛物线y^2=2x,过（3,0）的直线交于抛物线a,b两点.求证：向量oa与向量ob的数量积为3
求证：向量oa与向量ob的数量积为3是真命题

Answer 1

已知抛物线y^2=2x,过（3,0）的直线交于抛物线a,b两点.求证：向量oa与向量ob的数量积为3是真命题
证明：∵抛物线y^2=2x
设过（3,0）的直线为y=kx-3k,则y^2=k^2x^2-6k^2x+9k^2
则k^2x^2-6k^2x+9k^2=2x==> k^2x^2-(6k^2+2)x+9k^2=0
由韦达定理得x1+x2=(6k^2+2)/k^2,x1x2=9
Y1y2=(kx1-3k)(kx2-3k)=k^2x1x2-3k^2(x1+x2)+9k^2＝-3(6k^2+2)+18k^2=-6
设向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2)
∴向量OA*向量OB =x1x2+y1y2=9-6=3
∴向量oa与向量ob的数量积为3是真命题