平面向量的数量积若四边形abcd满足,向量ab点乘向量bc=向量cd点乘向量da,|ab|=|cd|,证明四边形为平行四边形

Question

平面向量的数量积
若四边形abcd满足,向量ab点乘向量bc=向量cd点乘向量da,|ab|=|cd|,证明四边形为平行四边形

Answer 1

证明：
根据余弦定理(a^2= b^2+c^2 -2bc)的变形[bc=1/2(b^2+c^2 -a^2）〕
向量ab*向量bc=(1/2)(│ab│^2+│bc│^2-│ac│^2) （1）
向量cd*向量da=(1/2)(│cd│^2+│da│^2-│ac│^2) （2）
又因为
向量ab*向量bc=向量cd*向量da,|ab|=|cd|,（3）
联立（1）（2）（3）得
|bc|=|ad|
因为该四边形对边相等,所以是平行四边形.