设A是n阶特征值为零的若当块.证明,不存在矩阵A,使得A2=J

Question

设A是n阶特征值为零的若当块.证明,不存在矩阵A,使得A2=J

Answer 1

假设A² = J.
若λ是A的一个特征值,则λ²是A² = J的特征值.
而J的特征值只有0,于是A的特征值也只能为0.
考虑A的Jordan标准型,其各Jordan块的特征值都是0,易见r(A) = n-Jordan块的个数.
由r(A) ≥ r(A²) = r(J) = n-1,A只有一个n阶Jordan块.
因此A与J相似,进而有J = A²与J²相似.
但r(J) = n-1 > n-2 = r(J²),矛盾.
即不存在矩阵A使得A² = J.