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设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0.
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设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0.
▼优质解答
答案和解析
(A+B)(A+B)=A+B
A+B=E
又
(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA
=A+B+AB+BA=A+B
得
AB+BA=0
且
AB+BA=AB+B(E-B)
=AB+B-B^2
=AB
=0
A+B=E
又
(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA
=A+B+AB+BA=A+B
得
AB+BA=0
且
AB+BA=AB+B(E-B)
=AB+B-B^2
=AB
=0
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