（2014•福田区模拟）如图所示，对称轴是x=-1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（3，0），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC

Question

（2014•福田区模拟）如图所示，对称轴是x=-1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（3，0），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；
（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由A、B（1，0）两点关于x=-1对称，得A（-3，0），
设抛物线为y=a（x-1）（x+3），
将点C（0，3）代入，解得a=-1，
∴抛物线的函数表达式y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）由B、C两点的坐标可求得直线BC的表达式：y=x+3，
设P（m，0），则D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），
s=y_E-y_D=-m²-2m+3-（m+3）
=-m²-3m
=-（m+(3)/(2)^）2+(9)/(4)                                 
∵-1＜0，
∴s有最大值(9)/(4)； 

（3）∵OA=OC=3，OB=1，
∴∠OAC=∠OCA=45°，BC=√(10)，BM=(√(10))/(2)，
∴∠ADP=∠ACO=45°，
∵cos∠ABC=(BM)/(BN)＝(OB)/(BC)，即((√(10))/(2))/(BN)＝(1)/(√(10))，
∴BN=5，CN=5-2=3=OC（G为对称轴与x轴的交点），
可得△FNG≌△BCO，GF=OB=1=OG，
∴∠FOG=45°，
∴∠OFB=45°-∠FBG，
∵∠EAC=∠OFB，
∴∠EAC=45°-∠FBG
当点P在A、O之间时，如图（1），
∵∠AEP=∠ADP-∠EAC=45°-∠EAC=∠FBG，
∴tan∠AEP=tan∠FBG，
∴(AP)/(EP)＝(FG)/(BG)＝(1)/(2)，
∴(m+3)/(−m2−2m+3)＝(1)/(2)，
解得m=-1或-3（舍去），
∴P（-1，0）
当点P在O、B之间时，如图（2），
∵∠EAP=∠DAP-∠EAC