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对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1
题目详情
对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,∵|x|≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=
的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
(1)若点P在反比例函数y=
1 |
x |
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)设点P的坐标为(m,
),
∴d=|m|+|
|=2,
解得:m1=-1,m2=1,
经检验,m1=-1、m2=1是原分式方程的解,
∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1).
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|,
当x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1;
当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;
当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1.
∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,
∴一次函数y=-x+1是幸福函数.
(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,
∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,
∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.
①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,
当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,
∴m2+m≥1,
解得:m≥
;
②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,
∵(x-m)2≥0,
∴m-1≥1,
解得:m≥2;
③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,
当x=m时,d取最小值,最小值为m,
∴m≥1;
④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1,
∴m≥1.
综上所述:
∴-(m+1)≥1,
解得:若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2.
1 |
m |
∴d=|m|+|
1 |
m |
解得:m1=-1,m2=1,
经检验,m1=-1、m2=1是原分式方程的解,
∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1).
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|,
当x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1;
当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;
当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1.
∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,
∴一次函数y=-x+1是幸福函数.
(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,
∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,
∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.
①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,
当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,
∴m2+m≥1,
解得:m≥
| ||
2 |
②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,
∵(x-m)2≥0,
∴m-1≥1,
解得:m≥2;
③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,
当x=m时,d取最小值,最小值为m,
∴m≥1;
④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1,
∴m≥1.
综上所述:
∴-(m+1)≥1,
解得:若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2.
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