早教吧作业答案频道 -->数学-->
对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1
题目详情
对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,∵|x|≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=
的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
(1)若点P在反比例函数y=
1 |
x |
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)设点P的坐标为(m,
),
∴d=|m|+|
|=2,
解得:m1=-1,m2=1,
经检验,m1=-1、m2=1是原分式方程的解,
∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1).
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|,
当x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1;
当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;
当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1.
∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,
∴一次函数y=-x+1是幸福函数.
(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,
∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,
∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.
①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,
当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,
∴m2+m≥1,
解得:m≥
;
②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,
∵(x-m)2≥0,
∴m-1≥1,
解得:m≥2;
③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,
当x=m时,d取最小值,最小值为m,
∴m≥1;
④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1,
∴m≥1.
综上所述:
∴-(m+1)≥1,
解得:若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2.
1 |
m |
∴d=|m|+|
1 |
m |
解得:m1=-1,m2=1,
经检验,m1=-1、m2=1是原分式方程的解,
∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1).
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|,
当x<0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>1;
当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;
当x>1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>1.
∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,
∴一次函数y=-x+1是幸福函数.
(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,
∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,
∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.
①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,
当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,
∴m2+m≥1,
解得:m≥
| ||
2 |
②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,
∵(x-m)2≥0,
∴m-1≥1,
解得:m≥2;
③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,
当x=m时,d取最小值,最小值为m,
∴m≥1;
④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1,
∴m≥1.
综上所述:
∴-(m+1)≥1,
解得:若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2.
看了对平面直角坐标系中的点P(x,...的网友还看了以下:
设p为质数,整数x,y,z满足0<x<y<z<p,若x³,y³,z³除以p的余设p为质数,整数x, 2020-06-10 …
下列命题正确的是()A.若函数f(x)在x=a处连续,则函数f(x)在x=a的邻域内连续B.若函数 2020-06-12 …
(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lg(x+1)+x2,当x为实数时 2020-07-20 …
函数f(X)对任意a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当X〉0时有f(x)〉1.求证 2020-08-01 …
已知函数f(x)=x-1-lnx,g(x)=ex-e-x-ax(e为自然对数的底数).(1)若g( 2020-08-02 …
设函数f1(x)=112x4+aex(其中a是非零常数,e是自然对数的底),记fn(x)=fn-1 2020-08-02 …
高中数学奇函数f(x)是定义(0,+oo)上的增函数,且x》0,y》0都有等式f(x/y)=f(x 2020-08-03 …
已知函数f(x)是奇函数:当x>0时,f(x)=x(1-x);则当x<0时,f(x)=()A.f(x 2020-11-01 …
(2014•揭阳三模)设函数h(x)=2px-3lnx-px-1和函数f(x)=lnx-px+1(p 2020-11-12 …
已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)*f(y),且当x<0时f( 2020-12-27 …