（2014•广东三模）如图所示，一倾斜的传送带倾角θ=37°，始终以v=12m/s的恒定速度顺时针转动，传送带两端点P、Q间的距离L=2m，紧靠Q点右侧有一水平面长x=2m，水平面右端与一光滑的半径R=1.6

Question

（2014•广东三模）如图所示，一倾斜的传送带倾角θ=37°，始终以v=12m/s的恒定速度顺时针转动，传送带两端点P、Q间的距离L=2m，紧靠Q点右侧有一水平面长x=2m，水平面右端与一光滑的半径R=1.6m的竖直半圆轨道相切于M点，MN为竖直的直径．现有一质量M=2.5kg的物块A以v₀=10m/s的速度自P点沿传送带下滑，A与传送带间的动摩擦因数μ₁=0.75，到Q点后滑上水平面（不计拐弯处的能量损失），并与静止在水平面左端的质量m=0.5kg的B物块相碰，碰后A、B粘在一起，A、B与水平面的摩擦系数相同均为μ₂，忽略物块的大小．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）A滑上传送带时的加速度a和到达Q点时的速度；
（2）若AB恰能通过半圆轨道的最高点N，求μ₂；
（3）要使AB能沿半圆轨道运动到N点，且从N点抛出后能落到传送带上，则μ₂应满足什么条件？

Answer 1

（1）A刚上传送带时，由牛顿第二定律得：
Mgsinθ+μ₁Mgcosθ=Ma，
代入数据得：a=12m/s²，
A在传送带上运动，速度与传送带速度相等时，由匀变速运动的速度位移公式得：
v²-v₀²=2as，
代入数据得：s=(11)/(6)m＜L=2m，
A没有到达Q点前已经与传送带速度相等，到达Q点的速度为：v=12m/s；
（2）设AB碰后的共同速度为v₁，以A的初速度方向为正方向，A、B碰撞过程中，由动量守恒定律得：
Mv=（M+m）v₁，
代入数据得：v₁=10m/s，
AB在最高点时速度为v₃，在最高点，由牛顿第二定律得：
（M+m）g=（M+m）(v23)/(R)，
设AB在M点速度为v₂，由机械能守恒定律得：
(1)/(2)（M+m）v₂²=(1)/(2)（M+m）v₃²+（M+m）g•2R，
在水平面上由动能定理得：
(1)/(2)（M+m）v₁²-(1)/(2)（M+m）v₂²=μ₂（M+m）gx，
代入数据得：μ₂=0.5；
（3）①若以v₃由N点抛出，做平抛运动，
在竖直方向上：2R=(1)/(2)gt²，
水平方向上：x₁=v₃t，
联立并代入数据得：x₁=3.2m＞x，
则要使AB能沿半圆轨道运动到N点，并能落在传动带上，则μ₂≤0.5；
②若AB恰能落在P点，在竖直方向上：
2R-Lsinθ=(1)/(2)gt′²，
水平方向上：x+Lcosθ=v₃′t′，
由由机械能守恒定律得：(1)/(2)（M+m）v₂′²=(1)/(2)（M+m）v₃′²+（M+m）g•2R，
在水平面上由动能定理得：(1)/(2)（M+m）v₁²-(1)/(2)（M+m）v₂′²=μ₂（M+m）gx，
联立并代入数据得：μ₂=0.09，
综上所述，μ₂应满足：0.09≤μ₂≤0.5；
答：（1）A滑上传送带时的加速度a=12m/s²，到达Q点时的速度v=12m/s；
（2）若AB恰能通过半圆轨道的最高点N，μ₂=0.5；
（3）要使AB能沿半圆轨道运动到N点，且从N点抛出后能落到传送带上，则μ₂满足的条件是：0.09≤μ₂≤0.5．