已知实数a≥，函数y=ex-ax是区间[-ln3，0)上的增函数，设函数f(x)=ax3-x，，(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式；(Ⅱ)求证：当x＞0时，；(Ⅲ)设，其中n∈N*，问数列{an}中是否存在相等

Question

已知实数a≥ ，函数y=e ^x -ax是区间[-ln3，0)上的增函数，设函数f(x)=ax ³ - x， ，
(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式；
(Ⅱ)求证：当x＞0时， ；
(Ⅲ)设 ，其中n∈N* ，问数列{a _n }中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由。

Answer 1

已知实数a≥ ，函数y=e ^x -ax是区间[-ln3，0)上的增函数，设函数f(x)=ax ³ - x， ，
(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式；
(Ⅱ)求证：当x＞0时， ；
(Ⅲ)设 ，其中n∈N* ，问数列{a _n }中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由。

(Ⅰ)∵函数y=e ^x -ax是区间[-ln3，0)上的增函数，
∴ 在[-ln3，0)上恒成立，
∴ 在x∈[-ln3，0)上恒成立，
即 ，∴ ，
又∵a≥ ，
∴ ，
∴ 。
(Ⅱ)证明：当x＞0时，原不等式等价于 ，
两边取对数，即证： ，
即证： ，
设 ，即证 ，
事实上，设 ，
则 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
∴原不等式成立。
 (Ⅲ)∵ ，由(Ⅱ)可知，
，
令 ，由 且n∈N*，得n≥4，
即n≥4时， ，得 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，且 ，
∴ 中只可能是 与后面的项相等，
又 ， ，
∴数列 中存在唯一的两项相等 。