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已知实数a≥,函数y=ex-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax3-x,,(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式;(Ⅱ)求证:当x>0时,;(Ⅲ)设,其中n∈N*,问数列{an}中是否存在相等
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已知实数a≥ ,函数y=e x -ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax 3 - x, , (Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式; (Ⅱ)求证:当x>0时, ; (Ⅲ)设 ,其中n∈N* ,问数列{a n }中是否存在相等的两项?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由。 |
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答案和解析
已知实数a≥ ,函数y=e x -ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax 3 - x, , (Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式; (Ⅱ)求证:当x>0时, ; (Ⅲ)设 ,其中n∈N* ,问数列{a n }中是否存在相等的两项?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由。 |
(Ⅰ)∵函数y=e x -ax是区间[-ln3,0)上的增函数, ∴ 在[-ln3,0)上恒成立, ∴ 在x∈[-ln3,0)上恒成立, 即 ,∴ , 又∵a≥ , ∴ , ∴ 。 (Ⅱ)证明:当x>0时,原不等式等价于 , 两边取对数,即证: , 即证: , 设 ,即证 , 事实上,设 , 则 , ∴ 在 上单调递减, ∴ ,∴ , ∴原不等式成立。 (Ⅲ)∵ ,由(Ⅱ)可知, , 令 ,由 且n∈N*,得n≥4, 即n≥4时, ,得 , ∴ , 又 , ∴ ,且 , ∴ 中只可能是 与后面的项相等, 又 , , ∴数列 中存在唯一的两项相等 。 |
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