已知是正数数列的前n项和，，、…、…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．(1)求、；(2)从数列中能否挑出唯一的无

Question

已知是正数数列的前n项和，，、…、…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．(1)求、；(2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比？若不能的话，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)根据{S_n²}是以3为首项，以1为公差的等差数列求出通项公式，得到S_n，然后根据a_n=进行求解，根据{b_n}是等比数列，求出首项和公比即可求出b_n；
(2)设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=()^p，公比为()^k，(p、k∈N)，它的各项和等于=，建立等式关系，讨论p和k的大小，从而求出满足条件的等比数列．

(1){S_n²}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S_n²=3+(n-1)=n+2
因为a_n>0，所以S_n=(n∈N)
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-
又a₁=S₁=，所以a_n=(n∈N)
设{b_n}的首项为b₁，公比为q，则有
所以，
所以b_n=3ⁿ(n∈N)；
(2)由(1)得=()ⁿ，
设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=()^p，公比为()^k，(p、k∈N)，它的各项和等于=，
则有，
所以()^p=[1-()^k]，
当p≥k时3^p-3^p-k=8，即3^p-k(3^k-1)=8.
因为p、k∈N，
所以只有p-k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{c_n}的各项和为．
当p＜k时，3^k-1=8.3^k-p，因为k>p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比数列{c_n}，首项为，公比为，使它的各项和等于．

【点评】本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的求和等有关知识，属于中档题．