高难度自然对数方程2X^2-114X-8lnX-m=0有唯一解,求m的值.对不起笔误2X^2-14X-8lnX-m=0有唯一解,求m的值.

Question

高难度自然对数方程
2X^2-114X-8lnX-m =0 有唯一解,求 m 的值.
对不起笔误 2X^2-14X-8lnX-m =0 有唯一解,求 m 的值.

Answer 1

其实这道题一点都不难,至少我这么看,应该不需要插值和或者逼近公式.需要作出图像来,由于做图不方便我转为阐述,
方程化为x^2/4-7x/4-m/8=lnx
令f1(x)=x^2/4-7x/4-m/8,f2(x)=lnx
分析f1(x),显然此函数的形状已定,只是最小值点在对称轴x=7/2上移动的一个抛物线
如果此方程只有唯一解,则我们可以试着找出f1(x)与f2(x)相切时的切点
从而两者在某一点上拥有相同的切线,也就是说,在这一点上,两函数的切线重合
这样导数f1'(x)=f2'(x),又f1'(x)=x/2-7/4,f2'(x)=1/x,且x>0
从而整理后有方程
2x^2-7x-4=0
这样舍去负值,x=4
则对于f2(x),得到点A(4,ln4)
点A(4,ln4)显然也在f1(x)
得到m=-24-16ln2
从而得到m的值为-24-16ln2