如果对于一个集合中任意两个元素，作某种运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对此运算是封闭的．已知集合A={0，1}，B={y|y=m+n2，m，n∈z}．试判断A、B对加、减、乘、除四种运算是否

Question

如果对于一个集合中任意两个元素，作某种运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对此运算是封闭的．已知集合A={0，1}，B={y|y=m+n√(2)，m，n∈z}．试判断A、B对加、减、乘、除四种运算是否封闭，为什么？

Answer 1

∵0+1=1+0=1∈A，
0-1=-1∉A，1-0=1∈A，
0×1=1×0=0∈A，
1÷0没有意义；
∴集合A对加法，乘法封闭，对减法，除法不封闭；
设x=a+√(2)b，y=m+n√(2)，（a，b，m，n∈Z）；
x+y=a+m+√(2)（b+n）∈B，
x-y=a-m+√(2)（b-n）∈B，
xy=（am+2bn）+√(2)（an+mb）∈B，
当m=n=0时，x÷y没有意义；
故集合B对加法，减法，乘法封闭，对除法不封闭．