如图，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点，（不与点A、D重合），以BP为直径在BP的右侧作半圆O，与边BC交于点K，边点O作OF∥AD，且与CD相交于点F，与半圆O相交于点E，连接KE，设AP=x

Question

Answer 1

（1）∵OE∥BK，
∴当OE=BK时，四边形OBKE为平行四边形，
而OB=OE，
∴此时四边形OBKE为菱形，
连接OK，如图，
∵OB=BK=OK，
∴△OBK为等边三角形，
∴∠OBK=60°，
∴∠ABP=30°，
在Rt△ABP中，∵AP=x，AB=4，
∴x=(√(3))/(3)AB=(4√(3))/(3)；
（2）在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²=x²+4²=x²+16，
∴S=(1)/(2)•π•（(PB)/(2)）²=(1)/(2)π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333AB=(4√(3))/(3)；
（2）在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²=x²+4²=x²+16，
∴S=(1)/(2)•π•（(PB)/(2)）²=(1)/(2)π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (4√(3))/(3)4√(3)4√(3)4√(3)

3

33333；
（2）在Rt△ABP中，∵PB²2=AP²2+AB²2=x²2+4²2=x²2+16，
∴S=(1)/(2)•π•（(PB)/(2)）²=(1)/(2)π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222•π•（(PB)/(2)）²=(1)/(2)π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (PB)/(2)PBPBPB222）²2=(1)/(2)π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222π•(1)/(4)（x²+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(4)111444（x²2+16）=(π)/(8)x²+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (π)/(8)πππ888x²2+2π；
（3）∵OF∥PD∥BC，
而OP=OB，
∴OF为梯形PBCD的中位线，
∴OF=(1)/(2)（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222（PD+BC）=(1)/(2)（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222（4-x+4）=4-(1)/(2)x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222x，
∵OF⊥CD，
∴当OF=(1)/(2)BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222BP时，CD与半圆相切，
∴BP=2OF=2（4-(1)/(2)x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (1)/(2)111222x）=8-x，
在Rt△ABP中，∵PB²2=AP²2+AB²2，
∴（8-x）²2=x²2+4²2，解得x=3，
即x为3时，CD与半圆相切；
此时S=(π)/(8)x²+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (π)/(8)πππ888x²2+2π=(π)/(8)×9+2π=(25)/(8)π． (π)/(8)πππ888×9+2π=(25)/(8)π． (25)/(8)252525888π．