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如图,正方形ABCD的边长为4,点P为线段AD上的一动点,(不与点A、D重合),以BP为直径在BP的右侧作半圆O,与边BC交于点K,边点O作OF∥AD,且与CD相交于点F,与半圆O相交于点E,连接KE,设AP=x
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵OE∥BK,
∴当OE=BK时,四边形OBKE为平行四边形,
而OB=OE,
∴此时四边形OBKE为菱形,
连接OK,如图,
∵OB=BK=OK,
∴△OBK为等边三角形,
∴∠OBK=60°,
∴∠ABP=30°,
在Rt△ABP中,∵AP=x,AB=4,
∴x=
AB=
;
(2)在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2=x2+42=x2+16,
∴S=
•π•(
)2=
π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
3 3 33 3 3AB=
;
(2)在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2=x2+42=x2+16,
∴S=
•π•(
)2=
π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
4
4
4
3 3 33 3 3;
(2)在Rt△ABP中,∵PB22=AP22+AB22=x22+422=x22+16,
∴S=
•π•(
)2=
π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2•π•(
)2=
π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
PB PB PB2 2 2)22=
π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2π•
(x2+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 14 4 4(x22+16)=
x2+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
π π π8 8 8x22+2π;
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2(PD+BC)=
(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2(4-x+4)=4-
x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2x,
∵OF⊥CD,
∴当OF=
BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2BP时,CD与半圆相切,
∴BP=2OF=2(4-
x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
1 1 12 2 2x)=8-x,
在Rt△ABP中,∵PB22=AP22+AB22,
∴(8-x)22=x22+422,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
x2+2π=
×9+2π=
π.
π π π8 8 8x22+2π=
×9+2π=
π.
π π π8 8 8×9+2π=
π.
25 25 258 8 8π.
∴当OE=BK时,四边形OBKE为平行四边形,
而OB=OE,
∴此时四边形OBKE为菱形,
连接OK,如图,
∵OB=BK=OK,
∴△OBK为等边三角形,
∴∠OBK=60°,
∴∠ABP=30°,
在Rt△ABP中,∵AP=x,AB=4,
∴x=
| ||
3 |
4
| ||
3 |
(2)在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2=x2+42=x2+16,
∴S=
1 |
2 |
PB |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
| ||
3 |
3 |
3 |
3 |
4
| ||
3 |
(2)在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2=x2+42=x2+16,
∴S=
1 |
2 |
PB |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
4
| ||
3 |
3 |
3 |
3 |
(2)在Rt△ABP中,∵PB22=AP22+AB22=x22+422=x22+16,
∴S=
1 |
2 |
PB |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
1 |
2 |
PB |
2 |
1 |
2 |
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4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
PB |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
1 |
2 |
1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
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1 |
4 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
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1 |
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∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
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∴BP=2OF=2(4-
1 |
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在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
π |
8 |
(3)∵OF∥PD∥BC,
而OP=OB,
∴OF为梯形PBCD的中位线,
∴OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
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∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
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∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
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8 |
1 |
2 |
1 |
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1 |
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∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
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∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
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1 |
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1 |
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∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
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∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
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1 |
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∵OF⊥CD,
∴当OF=
1 |
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∴BP=2OF=2(4-
1 |
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在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
1 |
2 |
∴BP=2OF=2(4-
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB2=AP2+AB2,
∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
1 |
2 |
在Rt△ABP中,∵PB22=AP22+AB22,
∴(8-x)22=x22+422,解得x=3,
即x为3时,CD与半圆相切;
此时S=
π |
8 |
π |
8 |
25 |
8 |
π |
8 |
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