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已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=2x4x+1.(1)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;(3)要使方程f
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已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=
.
(1)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)要使方程f(x)=x+b在区间[-1,1]上恒有实数解,求实数b的取值范围.
2x |
4x+1 |
(1)试用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1]上是减函数;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)要使方程f(x)=x+b在区间[-1,1]上恒有实数解,求实数b的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)对于任意x1,x2∈(0,1],且x1>x2,有
f(x1)-f(x2)=
-
=
=
;
∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,
∴2x1+x2>1,4x1+1>0,4x2+1>0;
又函数y=2x 在R内递增,
∴2x1>2x2,
∴2x2-2x1<0;
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在 (0,1]上是减函数;
(2)由题意f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(0)=0;
又x∈(0,1]时,f(x)=
,
∴x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],
∴f(-x)=
=
f(x1)-f(x2)=
2x1 |
4x1+1 |
2x2 |
4x2+1 |
=
2x1(4x2+1)−2x2(4x1+1) |
(4x1+1)(4x2+1) |
=
(2x1+x2−1)(2x2−2x1) |
(4x1+1)(4x2+1) |
∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,
∴2x1+x2>1,4x1+1>0,4x2+1>0;
又函数y=2x 在R内递增,
∴2x1>2x2,
∴2x2-2x1<0;
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在 (0,1]上是减函数;
(2)由题意f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(0)=0;
又x∈(0,1]时,f(x)=
2x |
4x+1 |
∴x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],
∴f(-x)=
2−x |
4−x+1 |
作业帮用户
2017-10-14
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