如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|成立，则称f（x）为“M函数”．（Ⅰ）已知函数g（x）=1x+2，x∈[0，1]．判断g（x）是否为

Question

如果定义在[0，1]上的函数f（x）满足：若对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|成立，则称f（x）为“M函数”．
（Ⅰ）已知函数g（x）=(1)/(x+2)，x∈[0，1]．判断g（x）是否为“M函数”，并说明理由；
（Ⅱ）若h（x）为“M函数”，且h（0）=h（1），求证：对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|h（x₁）-h（x₂）|＜(1)/(2)．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）

Answer 1

（Ⅰ）g（x）是“M函数”，
理由如下：
设x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，
(|g(x1)−g(x2)|)/(|x1−x2|)=(|(1)/(x1+2)−(1)/(x2+2)|)/(|x1−x2|)=|(1)/((x1+2)(x2+2))|，
∵x₁，x₂∈[0，1]，2≤2+x₁≤3，2≤2+x₂≤3，
∴(|g(x1)−g(x2)|)/(|x1−x2|)＜1，
则|g（x₁）-g（x₂）|＜|x₁-x₂|成立．
（Ⅱ）由h（x）为“M函数”，则|h（x₁）-h（x₂）|＜|x₁-x₂|成立，
不妨设0≤x₂≤x₁≤1，
当x₂=x₁时，|h（x₁）-h（x₂）|=0＜(1)/(2)，
当0＜x₁-x₂＜1时，由h（0）=h（1），
则|h（x₁）-h（x₂）|=|h（x₁）-h（1）+h（0）-h（x₂）|≤|h（x₁）-h（1）|+|h（0）-h（x₂）|≤|x₁-1|+|0-x₂|=1-（x₁-x₂）＜1-(1)/(2)=(1)/(2)，
综上所述|h（x₁）-h（x₂）|＜(1)/(2)成立．