规定Cmx=x(x−1)…(x−m+1)m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C3-15的值；（2）设x＞0，当x为何值时，C3x(C1x)2取得最小值？（3）组合

Question

规定C^m_x=(x(x−1)…(x−m+1))/(m！)，其中x∈R，m是正整数，且C⁰_x=1，这是组合数C^m_n（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C³_-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，(C3x)/((C1x)2)取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①C^m_n=C^n-m_m． ②C^m_n+C^m-1_n=C^m_n+1．
是否都能推广到C^m_x（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x⁰=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A_x³的单调区间．

Answer 1

（1）

C

3 −15

＝((−15)(−16)(−17))/(3!)＝−680．
（2）(C3x)/((C1x)2)＝(x(x−1)(x−2))/(6x2)＝(1)/(6)(x+(2)/(x)−3)．
∵x＞0，x+(2)/(x)≥2√(2)．
当且仅当x=√(2)时，等号成立．
∴当x=√(2)时，(C3x)/((C1x)2)取得最小值．
（3）性质①不能推广，例如当x=√(2)时，

C

1 √(2)

有定义，但

C	√(2)−1 √(2)

无意义；
性质②能推广，它的推广形式是C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹．
当m≥2时．

C

m x

+

C

m−1 x

＝(x(x−1)…(x−m+1))/(m!)+(x(x−1)…(x−m−2))/((m−1)!)
=(x(x−1)…(x−m+2))/((m−1)!)[(x−m+1)/(m)+1]=(x(x−1)…(x−m+2)(x+1))/(m!)＝

C

m x+1

．

变式：（Ⅰ）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（A_x³）′=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜(3−√(3))/(3)或x＞(3+√(3))/(3)．
因此，当x∈(−∞，(3−√(3))/(3))时，函数为增函数，
当x∈((3+√(3))/(3)，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2＜0，解得(3−√(3))/(3)＜x＜(3+√(3))/(3)．
因此，当x∈((3−√(3))/(3)，(3+√(3))/(3))时，函数为减函数．
所以，函数A_x³的增区间为(−∞，(3−√(3))/(3))，((3+√(3))/(3)，+∞)
函数A_x³的减区间为((3−√(3))/(3)，(3+√(3))/(3))