已知函数F(X)=X2+aX+b(a,b为R),A={X|X=F(X),X为R},B={X|X=F[F（X）]X为R},（1）证明A包含于B（2）当A={-1,3}时,B将是一个什么样的集合,列出他的元素.

Question

已知函数F(X)=X2+aX+b(a,b为R),A={X|X=F(X),X为R},B={X|X=F[F（X）]X为R},
（1）证明A包含于B
（2）当A={-1,3}时,B将是一个什么样的集合,列出他的元素.

Answer 1

(1) 若X属于A,即X=F(X),有F((F(X))=F(X)=X
所以X也属于B
所以A包含于B
(2)当A={-1,3}时
F(X)=(X+1)(X-3)+X=X^2-X-3
F(F(X))=(X^2-X-3+1)(X^2-X-3-3)+X^2-X-3
解方程F(F(X))=X得
X=-1或3或正负根号3
所以B={-1,3,根号3,负根号3}