设f（x）在[a，b]上连续可微，证明maxa≤x≤b|f（x）|≤1b−a∫ba|f（x）|dx+∫ba|f′（x）|dx．

Question

设f（x）在[a，b]上连续可微，证明

max

a≤x≤b

|f（x）|≤(1)/(b−a)

∫

b a

|f（x）|dx+

∫

b a

|f′（x）|dx．

Answer 1

因为f（x）在[a，b]上连续可微，故|f（x）|在[a，b]上连续，从而利用闭区间上连续函数的最值定理可得，存在x0∈[a，b]，使得|f（x0）|=maxa≤x≤b|f(x)|．对于任意x∈[a，b]，f（x）-f（x0）=∫xx0f′(t)dt，①从而|...