已知函数f（x）=|x|-|x-1|．（1）若关于x的不等式f（x）≥|m-1|的解集非空，求实数m的取值集合M．（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．

Question

已知函数f（x）=|x|-|x-1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m-1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a²+b²=k，证明：a+b≥2ab．

Answer 1

（1）由已知可得f（x）=

-1，x<0

2x-1，0≤x≤1

1，x>1

，
所以f_max（x）=1，…（3分）
所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2…（5分）
（2）因为a>0，b>0，
所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）²≥4a²b²，
即证a²+b²+2ab≥4a²b²，
所以只要证2+2ab≥4a²b²，…（7分）
即证2（ab）²-ab-1≤0，
即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1>0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a²+b²≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）