已知函数g（x）=b2lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，函数h（x）=ax2+bx+4b-1．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；（Ⅱ）当a=12时，函数t（x）=ln（1+x2）-h（x）+x+4-k（k

Question

已知函数g（x）=b²lnx-bx-3（b∈R）的极值点为x=1，函数h（x）=ax²+bx+4b-1．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）当a=(1)/(2)时，函数t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k（k∈R），试判断函数t（x）的零点个数；
（Ⅲ）如果函数f（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），那么就称f（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，已知函数f₁（x）=（a-(1)/(2)）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=(1)/(2)x²+2ax，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）=g（x）+h（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）易知函数g（x）的定义域是（0，+∞），且g′(x)=(b2)/(x)-b，
因为函数g(x)=

b

2

lnx-bx-3(b∈R)的极值点为x=1，
所以g′(1)=

b

2

-b=0，且b≠0，
所以b=1或b=0（舍去），
所以g（x）=lnx-x-3，g′(x)=(1-x)/(x)(x＞0)，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
所以x=1是函数g（x）的极大值，且最大值为g（1），
所以g（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞），g（x）≤g（1）．
（Ⅱ）当a=(1)/(2)时，t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k=ln（1+x²）-(1)/(2)x2+1-k．
所以t′(x)=(2x)/(1+x2)-x，
令t′（x）=0，得x=-1或x=0或x=1，
当x＜-1时，t′（x）＞0，当-1＜x＜0时，t′（x）＜0，当0＜x＜1时，t′（x）＜0，当x＞1时，t′（x）＜0．
所以t(x)极大值=t(±1)=ln2+(1)/(2)-k，t(x)极小值=t(0)=1-k，
所以当k＞ln2+(1)/(2)时，函数t（x）没有零点；
当1＜k＜ln2+(1)/(2)时，函数t（x）有四个零点；
当k=ln2+(1)/(2)时，函数t（x）有两个零点；
当k=1时，函数t（x）有三个零点；
当k＜1时，函数t（x）有两个零点．
（Ⅲ）f（x）=g（x）+h（x）=a

x

2

+lnx，
在区间p(x)=f(x)-f2(x)=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx上，函数p(x)=f(x)-f2(x)=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx是p(x)=f(x)-f2(x)=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx的“伴随函数”，
则p(x)=f(x)-f2(x)=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx恒成立，令p（x）=f（x）-f₂（x）=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx，
q（x）=f（x）-f₂（x）=-(1)/(2)x2+2ax-a2lnx，则p（x）＜0，q（x）＜0对于任意的x∈（1，+∞）恒成立．
因为p′(x)=(2a-1)x-2a+(1)/(x)=([(2a-1)x-1](x-1))/(x)（*）
①若a＞(1)/(2)，令p′（x）=0得x1=1，x2=(1)/(2a-1)，当x2＞x1=1，(1)/(2)＜a＜1时在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）是增函数，并且在该区间上由p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；当x₂≤x₁，即a≥1时，在（1，+∞）上，p（x）∈（p（1），+∞），也不符合题意；
②若a≤(1)/(2)，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只需满足p（1）=-a-(1)/(2)≤0，所以a≥-(1)/(2)，所以-(1)/(2)≤a≤(1)/(2)．
因为q′(x)=-x+2a-(a2)/(x)=(-x2+2ax-a2)/(x)=(-(x-a)2)/(x)＜0，所以q（x）在（1，+∞）上是减函数．
要使q（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，则q（x）＜q(1)=-(1)/(2)+2a≤0，所以a≤(1)/(4)．
综合①②可知[-(1)/(2)，(1)/(4)]的取值范围是[-(1)/(2)，(1)/(4)]．