已知函数f（x）=ex-e-x，实数x，y满足f（x2-2x）+f（2y-y2）≥0，若点M（1，2），N（x，y），则当1≤x≤4时，OM•ON的最大值为（其中O为坐标原点）

Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x，实数x，y满足f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，若点M（1，2），N（x，y），则当1≤x≤4时，

OM

•

ON

的最大值为______（其中O为坐标原点）

Answer 1

∵f（x）=e^x-e^-x，∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函数f（x）=e^x-e^-x为奇函数，
又易判f（x）=e^x-e^-x=e^x-(1)/(ex)为R上的增函数，
∴f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0可化为f（x²-2x）≥-f（2y-y²），
由奇函数的性质可得f（x²-2x）≥f（-2y+y²），
∴x²-2x≥-2y+y²，变形可得（x-y）（x+y-2）≥0，
又∵点M（1，2），N（x，y），∴

OM

•

ON

=x+2y，
问题转化为在

(x−y)(x+y−2)≥0

1≤x≤4

之下，求z=x+2y的最大值的线性规划问题，

作出图象可知当目标直线（红色）经过图中的点A时，z=x+2y取最大值，
联立

y＝x

x＝4

可解x=4，y=4，即A（4，4），
代入计算可得z=x+2y的最大值为z_max=4+2×4=12．
故答案为：12