已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D为BC的中点，E为边AC上的一点，且不与端点A、C重合，G在线段BE上，联结DG并延长交AE于点F，若∠FGE=45°，设AE=x，EF=y（1）求证：△BDG∽△

Question

已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D为BC的中点，E为边AC上的一点，且不与端点A、C重合，G在线段BE上，联结DG并延长交AE于点F，若∠FGE=45°，设AE=x，EF=y

（1）求证：△BDG∽△BEC；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）求y与x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠BGD=∠FGE=45°，
∴∠C=∠BGD，
∵∠GBD=∠EBC，
∴△BDG∽△BEC；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴由勾股定理得：BC=√(2)AB，
∵D为BC的中点，
∴BD=(1)/(2)BC，
由（1）得：△BDG∽△BEC，
∴(BD)/(BE)=(BG)/(BC)，
∴BG=(BD•BC)/(BE)=((1)/(2)BC•BC)/(BE)=((1)/(2)BC2)/(BE)=((1)/(2)×(√(2)AB)2)/(BE)=(AB2)/(BE)，
∴(AB)/(BG)=(BE)/(AB)，
∵∠ABG=∠EBA，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE；
（3） 由（2）得：∠BGA=90°，
∴∠AGE=90°=∠BAC，
∵∠FGE=45°，
∴GF平分∠AGE，
∴(EF)/(AF)=(EG)/(AG)，
∵∠AEG=∠BEA，
∴△AEG∽△BEA，
∴(EG)/(AG)=(AE)/(AB)，
∴(EF)/(AF)=(AE)/(AB)，
即(y)/(x-y)=(x)/(4)，
解得：y=(x2)/(x+4)（0<x<4）．