在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交与点A（-1，0）B（4，0），且与y轴相交于C，在第一象限内抛物线上是否存在D，使得∠ADB=45°？若存在，求出点D坐标；若不存在，

Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=-x ² +bx+c的图象与x轴交与点A（-1，0）B（4，0），且与y轴相交于C，在第一象限内抛物线上是否存在D，使得∠ADB=45°？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：
抛物线与x轴的交点
专题：

分析：
易求得抛物线解析式，即可求得抛物线对称轴，在对称轴上取点O1 （32，52），设D（x，-x2+3x+4），易得AO1=522=DO1，整理即可求得x的值，即可解题．

∵y=-x2+bx+c的图象与x轴交与点A（-1，0）B（4，0），∴-1-b+c=0，-16+4b+c=0，解得：b=3，c=4，∴抛物线解析式为y=-x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x=32，在对称轴上取点O1 （32，52），设D（x，-x2+3x+4），∵AO1=522=DO1，∴(x-32)2+(-x2+3x+4-52)2=(522)2，整理得：x4-6x3+7x2+6x-8=0，∴（x4+7x2-8）+（-6x3+6x）=0，（x2-1）（x2+8）-6x（x2-1）=0，∴（x+1）（x-1）（x-2）（x-4）=0，∴x1=-1，x2=1，x3=2，x4=4，∴当x=1或2时，-x2+3x+4=6，∴D1 （1，6），D2（2，6）．
点评：
本题考查了二次函数解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．