已知函数f(x)=x^2+ax+4/x,若f(x)为奇函数,求a的值,f(-x)为什么=-(x^2-ax+4)/x呢?

Question

已知函数f(x)=x^2+ax+4/x,若f(x)为奇函数,求a的值,f(-x)为什么=-(x^2-ax+4)/x呢?

Answer 1

f(x)=x^2+ax+4/x不可能是奇函数.题目函数应该是f(x)=(x^2+ax+4)/x,解法如下：
定义域x≠0,关于原点对称.f(-x)=[(-x)²+a(-x)+4]/(-x)=-(x^2-ax+4)/x,-f(x)=-(x²+ax+4)/x
奇函数有f(-x)=-f(x),所以-(x^2-ax+4)/x=-(x²+ax+4)/x,比较等式系数可得-a=a,解得a=0

如果奇函数定义域可以取x=0,则有更快方法,例如本题如果函数f(x)=x³+4x+a,若f(x)为奇函数,求a的值,除了上述方法,还可以用下面方法,因为奇函数关于原点对称,如果奇函数定义域有x=0,则函数一定过原点,于是有f(0)=0,代人函数立刻可以求出a=0.此法对于特殊函数可用,如果函数是f(x)=x³+ax²+4x,则于事无补.