已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足BG⊥CG，若a2cosA=λbc则实数

Question

已知G点为△ABC的重心，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足

BG

⊥

CG

，若 (a2)/(cosA)=λbc则实数λ=___．

Answer 1

如图，连接AG，延长交AG交BC于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵CG⊥BG，∴DG=(1)/(2)BC，
由重心的性质得，AD=3DG，即DG=(3)/(2)AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+AB²=2BD²+2CD²，
∴AC²+AB²=(1)/(2)BC²+(9)/(2)BC²=5BC²，
∴b²+c²=5a²，
∵(a2)/(cosA)=λbc，∴λ=(2a2)/(b2+c2-a2)=(2a2)/(5a2-a2)=(1)/(2)．
故答案为：(1)/(2)．