如图，PAB为O的割线，PC切O于C，CD为O的直径，DB交PO于E．求证：AC⊥CE．

Question

如图，PAB为 O的割线，PC切 O于C，CD为 O的直径，DB交PO于E．求证：AC⊥CE．

Answer 1

证明：取AB的中点F，连接OF、CF、BC，
由垂径定理可知OF⊥AB，
∵PC是 O的切线，
∴∠OFP=90°=∠PCO，
∴P、F、O、C四点共圆，
∴∠1=∠2，
∴∠DOE=∠AFC，且∠D=∠A，
∴△DOE∽△AFC，
∴(DE)/(AC)=(OD)/(AF)=(2OD)/(2AF)=(CD)/(AB)，
又∵∠A=∠D，
∴△DCE∽△ABC，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠ACE=∠3+∠DCE=∠4+∠ABC=∠DBC=90°，
∴AC⊥CE．