如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）∠F=30°时，求S△OFES四边形AOEC的值．

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．

（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）∠F=30°时，求(S△OFE)/(S四边形AOEC)的值．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠FAC，
∴∠CAE=∠OAE，
又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠OEF=∠ACF，
又∵AC⊥EF，
∴∠OEF=∠ACF=90°，
∴OE⊥CF，
又∵点E在⊙O上，
∴CF是⊙O的切线；
（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，
∴OF=2OE
又OA=OE，
∴AF=3OE，
又∵OE∥AC，
∴△OFE∽△AFC，
∴(OE)/(AC)=(OF)/(AF)=(2)/(3)，
∴(S△OFE)/(S△AFC)=(4)/(9)，
∴(S△OFE)/(S四边形AOEC)=(4)/(5)．