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设n与k是正整数,n＞3且n/2＜k＜n.平面上有n个点,其中任意三点不共线,且其中每个点都至少和其他k个点用线段链接,证明:链接的线段中至少有三条围成一个三角形.
题目详情
设n与k是正整数,n＞3且n/2＜k＜n.平面上有n个点,其中任意三点不共线,且其中每个点都至少和其他k个点用线段链接,证明:链接的线段中至少有三条围成一个三角形.
▼优质解答
答案和解析
这篇讲容斥原理的,13-15页和你的题有类似的地方,
我刚想出来了
假设A、B两点之间有线段相连,则除了A、B两点以外还剩n-2个点,设这些点集合为P
若n为偶数,则k的最小值为2/n+1,所以A至少和B以外的2/n个点连接,设这些点集合为M.同理B至少和A以外的2/n个点连接,设这些点集合为N.因为M、N是P的子集,所以M∪N元素个数≤P元素个数=n-2,而M∪N元素个数=M元素个数+N元素个数-M∩N元素个数,由此可得M∩N元素个数≥2,也就是至少有两个点同时与A、B连接,构成三角形
若n为奇数,用同样方法可证出至少有一个点与A、B构成三角形
所以命题得证
我刚想出来了
假设A、B两点之间有线段相连,则除了A、B两点以外还剩n-2个点,设这些点集合为P
若n为偶数,则k的最小值为2/n+1,所以A至少和B以外的2/n个点连接,设这些点集合为M.同理B至少和A以外的2/n个点连接,设这些点集合为N.因为M、N是P的子集,所以M∪N元素个数≤P元素个数=n-2,而M∪N元素个数=M元素个数+N元素个数-M∩N元素个数,由此可得M∩N元素个数≥2,也就是至少有两个点同时与A、B连接,构成三角形
若n为奇数,用同样方法可证出至少有一个点与A、B构成三角形
所以命题得证
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