已知圆锥的母线与轴线的夹角为α圆锥嵌入半径为R的Dandelin球平面π与圆锥面的交线为抛物线求抛物线的焦点到准线的距离.图3-10

Question

已知圆锥的母线与轴线的夹角为α 圆锥嵌入半径为R的Dandelin球 平面π与圆锥面的交线为抛物线 求抛物线的焦点到准线的距离.

图3-10

Answer 1

解析:设F为抛物线的焦点 A为顶点 FA的延长线交准线m于B AF的延长线与PO交于点C.连结OF、OA.∵平面π与圆锥轴线和圆锥母线与轴线夹角相等 ∴∠APC=∠ACP=α.由切线长定理知OA平分∠PAC ∴OA⊥PC.∴∠OCA+∠OAC=90° ∠AOF+∠OAC=90°.∴∠OCA=∠AOF=α.在Rt△OAF中 AF=OF·tan∠AOF=Rtanα.又由抛物线结构特点 ∴AF=AB.∴FB=2Rtanα 即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtanα.